ABACUS: MYSTERY OF THE BEAD
The Bead Unbaffled - An Abacus Manual

Técnicas de División Larga - Suanpan Chino

Esta poderosa técnica me la mostró por primera vez Torsten Reincke. Es el segundo capítulo de cómo resolver problemas de división usando técnicas tradicionales chinas. Antes de continuar, se sugiere que uno debería tener una comprensión de las técnicas y reglas que gobiernan la División Corta China

Este método de división larga utiliza un suanpan tradicional de 2:5 cuentas por columna. A lo largo de los años, muchos han especulado acerca de por qué estos instrumentos chinos tienen cuentas adicionales. Las siguientes técnicas de división larga pueden arrojar algo de luz sobre dicha cuestión

1. La Técnica de la Cuenta Extra que utiliza la 2ª cuenta superior del ábaco. Tiene un valor de 5. Cuando se utiliza esta técnica, las dos cuentas superiores tienen un valor de 5 + 5 = 10 (Fig.2 en el segundo ejemplo - la cuenta adicional se coloca en la varilla F.)
    
2. The Técnica de la Cuenta Suspendida que también utiliza la 2ª cuenta superior del ábaco, pero en este caso se establece a medio camino hacia abajo de la varilla para que la cuenta no toque ni el marco de arriba ni la cuenta de abajo. Tiene un valor de 10. Cuando se utiliza esta técnica, las dos cuentas superiores tienen un valor de 10 + 5 = 15 (Fig.5 en el tercer ejemplo - la cuenta suspendida se coloca en la barra H.)

* Cabe señalar que, como con cualquier método para resolver problemas de división en un ábaco, habrá casos en los que el operador del ábaco tendrá que revisar el resultado de un cociente hacia arriba o hacia abajo para llegar al resultado correcto. Aunque esta técnica es notablemente buena, no es excepción a lo anterior.

División y Desplazamiento de la Varilla Unidad

Si el divisor es....

1.003..... un número entero - la barra unitaria se desplaza 1 barra a la izquierda.
45.03..... dos números enteros - la barra unitaria se desplaza 2 barras a la izquierda.
0.75....... sin número entero, sin ceros a la derecha del punto, la barra unitaria *no* se desplaza.
0.0125... un cero a la derecha del punto: la varilla unitaria se desplaza 1 varilla hacia la derecha.
0.0036... dos ceros a la derecha del punto - la varilla unitaria se desplaza 2 varillas a la derecha... etc.
 

Suanpan y los decimales - División: Desplazamiento

A continuación se muestran tres ejemplos de esta técnica. Aunque los dos primeros ejemplos tienen resultados decimales, cada problema es bastante sencillo e ilustran muy bien el método. De hecho, saber cuánto desplazar la barra unidad para encontrar la respuesta decimal correcta es muy fácil cuando se usa esta técnica de suanpan. Uno sólo tiene que tener en cuenta el número de dígitos a la izquierda del punto o los ceros a su derecha en el divisor para encontrar la respuesta decimal correcta.

Para nuestros propósitos será suficiente resolver cada uno de los dos primeros problemas con cuatro decimales dejando un resto al final.

Example 1: 290 ÷ 47 = 6.1702  ==> con resto 0.0006 (ver Fig. 8)

Este ejemplo usa las siguientes reglas:

a) regla 2/4 = 5
b) regla 4/4 = avanza 1
c) regla 3/4 = 7 más 2
d) regla 1/4 = 2 más 2

Paso 1: Elegimos la barra G como barra unidad. Colocamos el dividendo 290 en las barras EFG y el divisor 47 en AB. El divisor tiene dos dígitos a la izquierda del punto decimal, por lo tanto la barra unitaria se desplaza dos barras hacia la izquierda llevándonos a la barra E.

Fig. 1

Paso 1 A B C D E F G H I J K L M       4 7 0 0 2 9 0 0 0 0 0 0 0 Paso 1

Paso 2: Comparando 4 en A con 2 en E.  seguimos la ==> regla: 2/4 = 5 <== El primer número del cociente será 5. Colocamos 5 en la barra E. Multiplicamos 5 en E por 7 en B y restamos el producto 35 de las barras FG. Con 55 como resto en FG, es evidente que podemos restar otros 47 de las varillas FG. (Fig.2)

Fig. 2

Paso 2 A B C D E F G H I J K L M       4 7 0 0 2 9 0 0 0 0 0 0 0 (5) - 3 5 Paso 2 4 7 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 0

Paso 3:  Revisamos la respuesta: sumamos 1 al cociente en E y restamos otros 47 de las barras FG. Esto deja un cociente de 6 en E y un resto de 8 en G. (Fig. 3)

Fig. 3

Paso 3 A B C D E F G H I J K L M       4 7 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 0 + 1 - 4 7 Paso 3 4 7 0 0 6 0 8 0 0 0 0 0 0

Paso 4: Comparamos 4 en A con 8 en G. Si avanzamos 2 no quedará nada como resto para continuar por lo tanto seguiremos la regla ==> 4/4 = avanza 1 <=== El siguiente dígito del cociente será un 1. Avanzamos 1 a F y sustraemos 47 de las columnas GH. Esto nos deja con un cociente provisional de 61 en EF y un resto de 33 en las columnas GH. (Fig.4)

Fig. 4

Paso 4 A B C D E F G H I J K L M       4 7 0 0 6 0 8 0 0 0 0 0 0 + 1 - 4 7 Paso 4 4 7 0 0 6 1 3 3 0 0 0 0 0

Paso 5:  Comparamos 4 en A y 3 en G.  Seguimos la regla ==> 3/4 = 7 más 2 <== La siguiente cifra de nuestro cociente será 7. Ponemos 7 en la columna G y sumamos 2 a la columna H. (Fig.5)

Fig. 5

Paso 5 A B C D E F G H I J K L M       4 7 0 0 6 1 3 3 0 0 0 0 0 (7) + 2 Paso 5 4 7 0 0 6 1 7 5 0 0 0 0 0

Paso 6: Multiplicamos 7 en G por 7 en la columna B y restamos el producto 49 de las columnas HI. Esto deja un cociente provisional 617 en EFG y un resto de 1 en la columna I. (Fig. 6)

Fig. 6

Paso 6 A B C D E F G H I J K L M       4 7 0 0 6 1 7 5 0 0 0 0 0 - 4 9 Paso 6 4 7 0 0 6 1 7 0 1 0 0 0 0

Paso 7: Ahora comparamos 4 en A y 1 en I.  Seguimos la reglaule ==> 1/4 = 2 más 2 <== El siguiente dígito del cociente será 2. Ponemos un 2 en la columna I y sumamos 2 a la columna J. (Fig. 7)

Fig. 7

Paso 7 A B C D E F G H I J K L M       4 7 0 0 6 1 7 0 1 0 0 0 0 (2) + 2 Paso 7 4 7 0 0 6 1 7 0 2 2 0 0 0

Paso 8: Multiplicamos 2 en I por 7 en B y sustraemos el producto 14 de las columnas JK. Hasta aquí vamos a llegar en este problema. Puesto que en el primer paso desplazamos la columna unidad a E el resultado obtenido hasta aquí es 6.1702 en las columnas E - I y el resto 6 en la columna K. (Fig. 8)

Fig. 8

Paso 8 A B C D E F G H I J K L M       4 7 0 0 6 1 7 0 2 2 0 0 0 - 1 4 Paso 8 4 7 0 0 6 1 7 0 2 0 6 0 0

Ejemplo 2:  28 ÷ 73 = 0.3835   ==> con un resto de 0.0045 (ver Fig. 11)

Este ejemplo usa las reglas:

a) regla 2/7 = 2 más 6
b) regla 6/7 = 8 más 4
c) regla 2/7 = 2 más 6
d) regla 4/7 = 5 más 5

Paso 1: Tomamos la columna F como columna unidad. Ponemos el dividendo 28 en las columnas EF y el divisor 73 en AB. El divisor tiene dos dígitos enteros a la izquierda del punto decimal, por lo tanto La columna unidad del cociente se desplaza dos posiciones a la izquierda hasta la columna D.

Fig. 1

Paso 1 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 2 8 0 0 0 0 0 0 0 Paso 1

Paso 2:  Comparamos 7 en A y 2 en E.  Seguimos la regla  ==> 2/7 = 2 más 6 <== La primera cifra de nuestro cociente será 2. Ponemos un 2 en la columna E y sumamos 6 a la columna F. Con 14 en la columna F tenemos que revisar el resultado. (Fig.2)
 

Fig. 2

Paso 2 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 2 8 0 0 0 0 0 0 0 (2) + 6 Paso 2 7 3 0 0 2'14'0 0 0 0 0 0 0

Paso 3: Revisamos el resultado: Sumamos 1 al cociente en la columna E y sustraemos 7 de F dejando 37. (Fig. 3)

Fig. 3

Paso 3 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 2'14'0 0 0 0 0 0 0 + 1 - 7 Paso 3 7 3 0 0 3 7 0 0 0 0 0 0 0

Paso 4: Ahora multiplicamos 3 en la columna E por 3 en B y sustraemos el producto 09 de las columnas FG. Esto deja 3 como primera cifra de nuestro cociente en la columna E y el resto 61 en FG. (Fig. 4)

Fig. 4

Paso 4 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 3 7 0 0 0 0 0 0 0 - 0 9 Paso 4 7 3 0 0 3 6 1 0 0 0 0 0 0

Paso 5: Ahora comparamos 7 en A con 6 en F. Seguimos la regla ==> 6/7 = 8 más 4 <== El siguiente dígito de nuestro cociente será 8. Ponemos 8 en la columna F y sumamos 4 a G.

Fig. 5

Paso 5 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 3 6 1 0 0 0 0 0 0 (8) + 4 Paso 5 7 3 0 0 3 8 5 0 0 0 0 0 0

Paso 6: Ahora multiplicamos 8 en F por 3 en B y restamos el producto 24 de las columnas GH. Esto deja el cociente provisional 38 en EF y el resto 26 en GH. (Fig. 6)

Fig. 6

Paso 6 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 3 8 5 0 0 0 0 0 0 - 2 4 Paso 6 7 3 0 0 3 8 2 6 0 0 0 0 0

Paso 7: Comparamos 7 en A con 2 en G. Seguimos la regla ==> 2/7 = 2 más 6 <== El siguiente dígito en nuestro cociente será 2. Ponemos 2 en G y sumamos 6 a H. Con 12 en la columna H tenemos que revisar. (Fig. 7)

Fig. 7

Paso 7 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 3 8 2 6 0 0 0 0 0 (2) + 6 Paso 7 7 3 0 0 3 8 2'12'0 0 0 0 0

Paso 8: Revisamos el resultado: sumamos 1 al cociente en G y restamos 7 de H. (Fig. 8)

Fig. 8

Paso 8 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 3 8 2'12'0 0 0 0 0 + 1 - 7 Paso 8 7 3 0 0 3 8 3 5 0 0 0 0 0

Paso 9: Ahora multiplicamos 3 en G por 3 en B y restamos 09 de las columna HI. Esto deja un cociente provisional 383 en EFG y el resto 41 en las columnas. (Fig. 9)

Fig. 9

Paso 9 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 3 8 3 5 0 0 0 0 0 - 0 9 Paso 9 7 3 0 0 3 8 3 4 1 0 0 0 0

Paso 10: Comparamos 7 en A con 4 en H. Seguimos la regla ==> 4/7 = 5 más 5 <== La siguiente cifra de nuestro cociente será 5. Ponemos 5 en H y sumamos 5 a la columna I. (Fig. 10)

Fig. 10

Paso 9 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 3 8 3 4 1 0 0 0 0 (5) + 5 Paso 10 7 3 0 0 3 8 3 5 6 0 0 0 0

Paso 11: Ahora multiplicamos 5 en H por 3 en B y restamos 15 de las columnas IJ. Hasta aquí vamos a llegar en este problema. Puesto que desplazamos la columna unidad a la columna D en el primer paso, el resultado hasta aquí es 0.3835 en las columna D - H y el resto 45 en las columnas IJ. (Fig. 11)

Fig. 11

Paso 9 A B C D E F G H I J K L M       7 3 0 0 3 8 3 5 6 0 0 0 0 - 1 5 Paso 11 7 3 0 0 3 8 3 5 4 5 0 0 0

Ejemplo 3:  58174 ÷ 986 = 59

Este ejemplo usa las reglas:

a) regla 5 /9= 5 más 5
b) regla 8 /9= 8 más 8
c) regla 9 /9= avanza 1

Paso 1:  Tomamos la columna J como columna unidad. Situamos el dividendo 58174 en las columnas FGHIJ y el divisor 986 en ABC.  El divisor tiene tres dígitos a la izquierda del punto por lo que la columna unidad del cociente se desplaza tres posiciones a la izquierda hasta la columna G. (Fig.1)

Fig. 1

Paso 1 A B C D E F G H I J K L M       9 8 6 0 0 5 8 1 7 4 0 0 0

 
Paso 2: Seguimos la regla ==> 5 /9= 5 más 5 <== ponemos el cociente 5 en la columna F y sumamos 5 a G, dejando 5 "13" 1 7 4 en FGHIJ. (Nota: la Técnica de la Cuenta Adicional permite poner 13 en la columna G.) (Fig.2)

Fig. 2

Paso 2 A B C D E F G H I J K L M       9 8 6 0 0 5 8 1 7 4 0 0 0 más 5 Paso 2 9 8 6 0 0 5'13'1 7 4 0 0 0

2a: Multiplicamos 5 en F por 8 en B. Restamos el producto 40 de las varillas GH, leaving, 59174 en las columnas F - J. (Fig.3)

Fig. 3

Paso 2a A B C D E F G H I J K L M       9 8 6 0 0 5'13'1 7 4 0 0 0 - 4 0 Paso 2a 9 8 6 0 0 5 9 1 7 4 0 0 0

2b: Multiplicamos 5 en F por 6 en C. Restamos el producto 30 de las columnas HI, dejando un cociente provisional de 5 en F y un resto de 8874 en las columnas G - J. (Fig.4)

Fig. 4

Paso 2b A B C D E F G H I J K L M       9 8 6 0 0 5 9 1 7 4 0 0 0 - 3 0 Paso 2b 9 8 6 0 0 5 8 8 7 4 0 0 0

Paso 3: Seguimos la regla ==> 8 /9= 8 más 8 <== ponemos el cociente 8 en G y sumamos el resto 8 a H.  (Nota: Como la columna H ya alberga un número elevado no disponemos de cuentas para sumar 8. Es aquí donde usaremos   *La Técnica de la Cuenta Suspendida*  que vale 10.)  Deslizamos la cuenta superior hacia abajo hasta mitad de camino sobre la columna H para añadir un valor de 10 y a continuación restamos 2 lo que nos da el 8 que necesitamos. Esto deja 5 8 "16" 7 4 en las columnas FGHIJ. (Fig.5)

Fig. 5

Paso 3 A B C D E F G H I J K L M       9 8 6 0 0 5 8 8 7 4 0 0 0 suspendida '10' - 2 Paso 3 9 8 6 0 0 5 8'16'7 4 0 0 0

3a: Multiplicamos el 8 en G por el 8 en B y restamos el producto 64 de las columnas HI, dejando 5 8 "10" 3 4 en FGHIJ. (Fig.6)  ***ver una variante más abajo***

Fig. 6

Paso 3a A B C D E F G H I J K L M       9 8 6 0 0 5 8'16'7 4 0 0 0 - 6 4 Paso 3a 9 8 6 0 0 5 8'10'3 4 0 0 0

3b: Multiplicamos el 8 en G por el 6 en C y restamos el producto 48 de las columnas IJ. Con 986 en las columnas HIJ hemos de revisar la respuesta. (Fig.7)

Fig. 7

Paso 3b A B C D E F G H I J K L M       9 8 6 0 0 5 8'10'3 4 0 0 0 - 4 8 Paso 3b 9 8 6 0 0 5 8 9 8 6 0 0 0

3c y resultado:  Revisamos el resultado: Sumamos 1 a 8 en G y restamos 986 de las columnas HIJ. Esto deja 59 en las columnas FG como resultado. (Fig.8)

Fig. 8

Paso 3c A B C D E F G H I J K L M       9 8 6 0 0 5 8 9 8 6 0 0 0 revisar + 1 - 9 8 6 Paso 3c 9 8 6 0 0 5 9 0 0 0 0 0 0

*** En el paso 3a de arriba podríamos haber optado por revisar el resultado usando la  regla  ==> 9 /9= avanza 1 <==  cambiando por tanto el 8 en la columna G a 9. Multiplicando el 9 revisado en G por el 8 en B seguido por el 6 en C y restando los productos de las columnas HIJ. Con ello podríamos haber llegado al resultado por un camino ligeramente diferente.***

 

Artículo traducido del original en lengua inglesa
por Jesús Cabrera - gmail: jccsvq
(2022)

▪ Abacus: Mystery of the Bead
▪ Técnicas Avanzadas para el Ábaco

 

 

© Junio de 2004
Totton Heffelfinger  Toronto Ontario  Canada
Email
totton[at]idirect[dot]com