Mejoras al Método de Kato para Obtener Raices Cuadradas
Revisión y Redondeo
El método del profesor Fukutaro Kato para encontrar raíces cuadradas es ideal para su uso en el ábaco. El método se describe claramente aquí:
Raíces Cuadradas; Método de Fukutaro Kato
Sin embargo, como ocurre con la mayoría de los métodos para la raíz cuadrada, a veces es necesario revisar un dígito de la raíz si nuestra primera estimación fue demasiado grande o demasiado pequeña. Esto puede resultar particularmente confuso revisando a la baja; porque si nuestra estimación fue demasiado grande, en algún momento durante las restas subsiguientes del resto, éste se volverá negativo y puede ser difícil recordar cuánto se debe volver a agregar a cada barra para revisar. Mostraré una forma sencilla de revisar tanto al alza como a la baja. Otra dificultad con cada método de raíz cuadrada que conozco es que nos queda un resto, pero sin una forma obvia de saber si la raíz desarrollada hasta ese punto debe redondearse excepto realizando cálculos necesarios para encontrar uno cifra más de la raíz y luego redondear en consecuencia hacia arriba si ese nuevo dígito es mayor o igual a cinco. Describiré un método más fácil para determinar si es necesario redondear.
Revisión al alza
Justo después de estimar un nuevo dígito de la raíz (excepto el primero) y realizar las restas de los productos de los dígitos raíz y la mitad del cuadrado del nuevo dígito raíz del resto, puede que no sea obvio si hemos subestimado dicho dígito, especialmente si el resto es solo un poco más grande que la raíz. En el peor de los casos, para verificar si nos hemos quedado cortos después de completar las restas, es posible que tengamos que restar todos los dígitos de la raíz, excepto el último, del resto; volver a sumar la mitad del cuadrado del dígito de la raíz subestimado y luego ver si hay suficiente resto sobrante para restar la mitad del cuadrado del dígito raíz corregido.
Hay una manera más fácil de verificar si nuestra estimación fue demasiado baja. Primero, completamos todas las restas pertenecientes a un dígito raíz hasta la resta de la mitad del cuadrado de ese dígito. Luego, si hemos desarrollado 'n' dígitos raíz, incluido aquel para el que acabamos de completar las restas, simplemente comparamos el resto, comenzando en la primera varilla a la derecha del dígito raíz recién desarrollado y que comprende n+2 dígitos(incluidos los posibles ceros iniciales) al número de n+1 dígitos compuesto por la raíz con un cinco añadido al extremo derecho, colocado con el dígito más significativo de la raíz en la segunda barra a la derecha del dígito raíz recién desarrollado. Si el resto es mayor o igual que la raíz con el cinco añadido, restamos la raíz (con el cinco añadido) del resto y revisamos el dígito de la raíz sumándole uno.
He aquí un ejemplo muy simple: √(625) = 25 006250 plantear el problema 202250 encontrar el primer dígito de la raíz (2) y sustraer su cuadrado de 06 201125 reducir el resto a su mitad 240325 (sub)estimar el siguiente dígito de la raíz como 4, restar 2 x 4 = 8 de 11 240245 restar 4^2/2 = 08 de 32
Ahora hemos completado las restas para el segundo dígito de la raíz. Vemos que el resto de cuatro dígitos 0245 es mayor o igual (igual en este caso) que el número de tres dígitos compuesto por la raíz con 5 añadido que, para el propósito de la comparación, se coloca con el dígito más significativo en la segunda varilla a la derecha de la raíz, o en este caso en la ubicación del dos en el resto 0245. Por lo tanto, podemos restar la raíz con 5 agregado y luego incrementar el último dígito de la raíz a 25.
250000 restar 245 de 0245 y aumentar en uno la última cifra de la raíz
Nótese que el resto de Kato siempre es la mitad del resultado de restar del radicando el cuadrado de la raíz. En este caso, 0245 o 24.5, es la mitad del resultado de sustraer el cuadrado de la raíz 24^2 = 576 del radicando 625.
He aquí un ejemplo más complicado: √(45) = 6.70820..... 0450000000000 plantear el problema 6090000000000 encontrar el primer dígito de la raíz, 6, y restar su cuadrado, 36 de 45 6045000000000 reducir el resto a su mitad 6703000000000 45/6 = 7+, estimar el siguiente dígito de la raíz en 7, restar 7x6 = 42 de 45 6700550000000 restar 7^2/2 = 24.5 de 30.0
El resto, 0055, es menor que 675 (la raíz seguida de 5), por lo que 7 es la cifra correcta
6700550000000 05/6 es menor que 1, por lo tanto 0 será la siguiente cifra de la raíz
El resto, 05500, es menor que 6705 (la raíz seguida de 5), por lo que 0 es correcto
6708550000000 55/6 = 9+, seamos precavidos y consideremos 8, no 9 6708070000000 restar 8x6 = 48 de 55 6708014000000 restar 8x7 = 56 de 70 6708014000000 restar 8x0 = 00 de 40 6708013680000 restar 8^2/2 = 32 de 1400
El resto, 013680, es menor que 67085 (la raíz seguida de 5), por lo que 8 es correcto
6708113680000 13/6 = 2+, seamos precavidos y consideremos 1, no 2 6708107680000 restar 1x6 = 06 de 13 6708106980000 restar 1x7 = 07 de 76 6708106980000 restar 1x0 = 00 de 98 6708106972000 restar 1x8 = 08 de 80 6708106971950 restar 1^2/2 = 00.5 de 20.0
El resto, 0697195 es mayor than 670815 (la raíz seguida de 5, por lo que restamos 670815 de 697195 y aumentamos la cifra de la raíz de 1 a 2
6708200263800 ahora el resto 0026380 es menor que 670825 por lo que pasamos al siguiente dígito de la raíz
Si hubiéramos elegido 2 previamente como el dígito raíz, habríamos tenido:
6708213680000 13/6 = 2+, estimamos el siguiente dígito en 2 6708201680000 restar 2x6 = 12 de 13 6708200280000 restar 2x7 = 14 de 16 6708200280000 restar 2x0 = 00 de 28 6708200264000 restar 2x8 = 16 de 80 6708200263800 restar 2^2/2 = 02 de 40
que es exactamente donde terminamos después de revisar, por lo que hemos revisado correctamente.
¿Por qué funciona esto?
¿Por qué funciona esto? Supongamos que tenemos un número S, cuya raíz cuadrada buscamos, r es la raíz desarrollada hasta cierto punto, y x es la mitad del resto después de restar el cuadrado de esa raíz desarrollada de S (recuerde que el método de Kato funciona con la mitad del resto "verdadero"). Ahora, en aras de la simplicidad en lo que sigue, asumimos que, si es necesario, hemos multiplicado S por alguna potencia par de diez para hacer que r sea un número entero. Esto no afecta los resultados ya que el punto decimal se puede restaurar a su ubicación original más adelante.
Por lo tanto tenemos: S = r^2+2x, o S-r^2 = 2x, o x = 1/2(S-r^2)
Es evidente que si hemos subestimado la raíz por uno y restado (r-1)^2 en lugar de r^2 de S, nuestro medio resto sería:
1/2[S-(r-1)^2] = 1/2 [r^2+2x–(r-1)^2] = 1/2[r^2+2x-r^2+2r-1] = x+r-1/2
es decir, nuestro medio resto x sería demasiado grande en r- 1/2.
Si luego revisamos restando de esto (r-1)+1/2 = (r-1)+0.5 (la raíz subestimada con 5 añadido), nos quedamos con un medio resto x, que es exactamente lo que habríamos tenido si inicialmente hubiéramos estimado la raíz correctamente y restado r^2 en lugar de (r-1)^2.
Revisión a la baja
Revisar a la baja puede ser incluso más difícil que revisar al alza porque si hemos sobreestimado el dígito de la raíz, el resto se hace negativo en algún momento durante nuestras restas y es posible que no podamos recordar fácilmente cuánto necesitamos volver a sumar para volver al punto de partida. En lugar de tratar de invertir la dirección y comenzar a revisar antes de que hayamos completado todas las restas, parece más fácil completar las restas, permitiendo que el resto se vuelva negativo, luego revisar el dígito de la raíz hacia abajo en uno y agregar la raíz corregida y con cinco añadido al final al resto negativo, de manera similar a la forma en que restabamos la raíz no corregida con cinco añadido cuando subestimabamos el dígito de la raíz.
He aquí un ejemplo: √(3364) = 58 abcdef 033640 plantear el problema 533640 el primer dígito de la raíz es 5 508640 restar el cuadrado del primer dígito de 33 504320 reducir el resto a la mitad 594320 exagerar el siguiente dígito a 9 en lugar de 8 599820 restar 45 de 43 (98 es el complemento a 10 de 02) 599415 restar 9^2/2 = 40.5 de 82 589415 disminuir el dígito de la raíz en 1 580000 sumar 585 a 415 (comenzar en la segunda varilla desde la raíz)
Observe que cuando restamos 45 de 43 en las columnas 'cd', primero restamos cuatro de cuatro en la barra 'c', dejando un resto de 03 en las barras 'cd', luego cuando restamos cinco de tres en la barra 'd' necesitamos tomar prestado del cero en la barra 'c', lo que requiere un préstamo a su vez de la barra 'b', lo cual no podemos hacer porque la barra 'b' es parte de la raíz, no parte del resto. Así que asumimos que tomamos prestado uno de "algún lugar" y luego lo devolvemos cuando agregamos 585 a 415 causando un acarreo en la barra 'c', convirtiéndolo en cero y provocando un acarreo en "algún lugar" (porque no podemos llevarlo a la columna 'b' que es parte de la raíz) reemplazando así el préstamo anterior. Todo funciona al final, siempre y cuando recordemos no tomar prestado ni llevar a la raíz.
He aquí otro ejemplo: √(121801) = 349
01218010 plantear el problema
31218010 primer dígito de la raíz = 3
30318010 restar el cuadrado del primer dígito
30159005 reducir el resto a su mitad
35159005 sobrestimar el segundo dígito de la raíz, 5 en lugar de 4
35009005 restar 15 de 15
35996505 restar 125 de 090 - el resto se hace negativo -
continuar tomando prestado desde la izquierda hasta el dígito más
significativo del resto, pero no de la raíz
34996505 corregir la sobrestimación disminuyendo la última cifra de la raíz
34031005 y sumar 345 a 965 - continuar el acarreo hacia la izquierda hasta el
dígito más significativo del resto, pero no a la raíz
34931005 la siguiente cifra de la raíz es 9
34904005 restar 27 de 31
34900405 restar 36 de 40
34900000 restar 405 de 405
acabado: la raíz es 349
¿Por qué funciona?
¿Por qué funciona? Al igual que en la explicación de por qué funciona el método en el caso anterior de subestimación, nuevamente asumimos que, si es necesario, hemos multiplicado S por una potencia par de diez para que r sea un número entero. Como antes, si S = r^2+2x y sobrestimamos el dígito raíz y restamos (r+1)^2 en lugar de r^2, nuestro medio resto sería:
1/2[S-(r+1)^2] = 1/2[r^2+2x – (r+1)^2] = 1/2[r^2+2x – r^2-2r-1] = x-r-1/2.
Si luego revisamos sumando a esto r+1/2 = r+0.5 (la raíz corregida con 5 añadido al final), nos quedamos con un medio resto de x, que es exactamente lo que hubiéramos tenido si hubiéramos estimado originalmente la raíz correctamente y restado r^2 en lugar de (r+1)^2.
En lugar de tratar de recordar que cuando revisamos al alza, primero corregimos el resto, luego corregimos la raíz, pero que cuando revisamos a la baja, primero corregimos la raíz, luego corregimos el resto; puede ser más fácil recordar esta regla: siempre agregue cinco a la menor de la raíz corregida o sin corregir. Esta será la raíz subestimada para revisión al alza y la raíz corregida para revisión a la baja. Siguiendo esta regla, no importa si se corrige primero la raíz o el resto.
Redondeo
Las instrucciones para cualquier método de raíz cuadrada nos dejarán un resto si el radicando no es un cuadrado perfecto. Por lo general, no nos importa el resto, pero lo que realmente queremos conocer es la raíz con un cierto número de dígitos significativos, digamos 'n' dígitos. Si encontramos 'n' dígitos y el 'n+1' dígito es igual o mayor que cinco, entonces debemos incrementar la raíz de 'n' dígitos. Por supuesto, podemos usar el método obvio de calcular 'n+1' dígitos de la raíz y luego redondear el enésimo dígito o no. Pero hay una manera mucho más fácil; simplemente compare los (n+3) dígitos del resto "verdadero" (el doble del resto de "Kato") comenzando en la varilla a la derecha del enésimo dígito de la raíz con la raíz de 'n' dígitos con 25 añadido a su derecha para hacer un número de 'n+2' dígitos. Si el resto verdadero es igual o mayor que la raíz de 'n' dígitos con 25 añadido, entonces incremente la raíz. Podemos hacer la comparación mentalmente simplemente mirando el resto y la raíz o simplemente podemos comenzar a restar la raíz (con 25 añadidos) del resto y ver si el resultado se vuelve negativo, en cuyo caso no es necesario redondear. Si no se vuelve negativo, entonces debemos redondear hacia arriba.
Ejemplo: √(228520) = 478, resto 36. Si queremos 3 dígitos significativos, ¿debemos redondear a 479? Cuando terminamos con los tres dígitos de la raíz, nuestro ábaco muestra: 478001800
y después de duplicar el resto, tenemos
478003600
Podemos ver de un vistazo que el resto 003600 es menor que 47825, por lo que no es necesario redondear la raíz a 479. Alternativamente, podemos simplemente comenzar a restar la raíz con 25 agregado, comenzando en el segundo dígito a la derecha del último dígito de la raíz:
478003600 -47825 ---------
Este resultado se vuelve negativo inmediatamente, por lo que sabemos que no es necesario redondear.
Otro ejemplo: Encontrar √(976) = 31.24090.... con 6 dígitos significativos: Después de desarrollar la raíz hasta 6 dígitos significativos, el ábaco se ve así: 3124090308359500
tras doblar el resto tenemos:
3124090616719000
Para determinar si necesitamos redondear a 31.2410, comparar el resto 061671900 con la raíz con 25 agregado al final 31240925 o, alternativamente, simplemente restar la raíz con '25' agregado, comenzando en la segunda varilla a la derecha del último dígito de la raiz y verificar que el resultado no es negativo:
312409061671900
-31240925
–--------------
Claramente, el resto es más grande que la raíz con 25 agregado, por lo que en este caso, se requiere redondear hasta 31.2410.
He aquí por qué funciona:
Supongamos que tenemos un número S y queremos encontrar la raíz cuadrada de S con 'n' cifras significativas. Después de haber encontrado la raíz de 'r' con 'n' dígitos, si el siguiente dígito es mayor o igual a cinco determinará si necesitamos redondear el 'n-ésimo dígito. (Como en las explicaciones anteriores, asumimos que si es necesario hemos multiplicado S por una potencia de diez tal que r es un número entero). Ahora considere el caso donde S es tal que la raíz está justo en la línea divisoria entre redondear hacia arriba el 'n-ésimo dígito o no; es decir, la raíz del dígito 'n' es 'r' y el siguiente dígito, o 'n+1'-ésimo, es exactamente cinco. Entonces la raíz de 'n' dígitos es r+0.5 y tenemos:
S = (r+0.5)^2 = r^2+r+0.25 or S-r^2 = r+0.25
Después de encontrar r (la raíz cuadrada de S con 'n' dígitos) y duplicar el semi-resto para obtener el verdadero resto S-r^2, nos queda un resto de r+0.25. En el caso general en el que la raíz no está justo en la línea divisoria del redondeo, si el resto es menor que r+0,25, la raíz debe haber sido menor que r+0,5, por lo que no es necesario redondear. Por otro lado, si el resto es mayor o igual a r+0.25, la raíz debe haber sido mayor o igual a r+0.5, por lo que necesitamos redondear el 'n'-ésimo dígito.
Steve Treadwell, Mayo de 2015