Dos Técnicas Cuando el Divisor Empieza por 1, por Masaaki Murakami
Ahora divisiones 😀
1. 省一法除法 (Eliminación del dígito inicial de un divisor que comienza con uno)
Este método se explica brevemente en el libro de Takashi Kojima, pero me gustaría explicarlo aquí en detalle.
Cuándo usarlo:
Esta técnica podría aplicarse cuando el dígito inicial del divisor es 1 y el siguiente dígito tiene un valor pequeño, como 0, 1, 2. (Cuanto más pequeño sea el segundo dígito, más fácil será determinar el cociente intermedio).
Nota Especial:
Si bien esta técnica se clasifica como Operacion especial, que se que se puede aplicar sólo en ciertas situaciones (limitadas), podremos aplicarla también a cualquier división con cierta maña. Piense en la expresión A / B = (A * n) / (B * n) que es siempre cierta. Entonces, cuando tengamos el divisor 643, por ejemplo, podemos multiplicar tanto el divisor como el dividendo por 2 para tener el divisor 1286. Además, en este caso, sería preferible multiplicar por 16 (para hacer el divisor 10288), porque nos permitiría hacer una estimación del cociente provisional más fácil. (Sin embargo, la multiplicación por 16 es un poco más complicada que la multiplicación por 2). Tambien podría multiplicar el dividendo y el divisor por 1556, pero esto ya podría ser excesivo. 😀
Teoría y Breve Operación:
Pensemos en la siguiente expresión algebraica para la división:
Q = A / B (donde Q es el cociente, A el dividendo y B el divisor)
Primero, cuando el dígito inicial del divisor es 1, podemos expresar el valor como 10^n + R, por ejemplo, 12345 se puede expresar como 10^5 + 2345.
Ordenemos estas expresiones.
Q = A / B : sustituyamos B por (10^n+ R) Q = A / (10^n + R) : multipliquemos ambos lados por (10^n + R) Q * (10^n + R) = A : desarrollemos el término de la izquierda Q * 10^n + Q * R = A : restamos 'Q * R' de ambos lados Q * 10^n = A - Q * R : dividamos ambos lados por '10^n' Q = (A - Q * R) / 10^n : esta expresión es la esencia de la técnica
La última expresión nos dice cómo usar esta técnica
Dado que A ya está colocado en el ábaco como dividendo, todo lo que tiene que hacer es, de la barra izquierda a la barra derecha, (1) encontrar un cociente intermedio intQ en su mente, (2) multiplicar el intQ por R, y (3 ) restar el resultado del ábaco. Si pudiera elegir el cociente intermedio correcto, ese valor (cociente intermedio) debería aparecer en la barra donde se debe colocar el cociente correcto.
El mérito de esta técnica proviene principalmente de eliminar el dígito inicial (y los ceros siguientes, si los hay) para operar, pero dado que el dígito inicial del divisor es 1, el cociente intermedio tiende a ser el valor exacto, o un poco menos, del valor que ya está en el ábaco, lo que significa que se tendremos menos ajetreo.
Veamos algunos ejemplos...
Ejemplo 1: 35190 / 102 = 345
ABC abcde
102 35190 : Quitamos el 1 inicial [A] del divisor.
02 35190 : Miremos [a], y pensemos...
: si tratamos el valor en [a] (3) como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [BC] (02) tenemos 6...
: restar 6 de [abc] no afecta el valor de [a]...
: lo que significa que el cociente interino 3 es el verdadero cociente.
: Restamos 6 de [abc].
02 34590 : Miremos [b], y pensemos...
: si tratamos el valor en [b] (4) como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [BC] (02) tenemos 8...
: restar 8 de [bcd] no afecta el valor de [b]...
: lo que significa que el cociente interino 4 es el verdadero cociente.
: Restamos 8 de [bcd].
02 34510 : Miremos [c], y pensemos...
: si tratamos el valor en [c] (5) como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [BC] (02) tenemos 10...
: restar 10 de [cde] no afecta el valor de [b]...
: lo que significa que el cociente interino 5 es el verdadero cociente.
: Restamos 10 de [cde].
02 34500 : Hecho.
Este ejemplo ha sido demasiado fácil. Puede ser que me arrepienta... 😀
Bien, pasemos a ejemplos más complicados.
Ejemplo 2: 4404 / 12 = 367
AB abcd
12 4404 : Quitamos el dígito inicial [A] del divisor.
2 4404 : Miremos [a], y pensemos...
: si tratamos el valor en [a] (4) como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 8...
: restando 8 de [ab] hace que el valor en [a] sea 3
...lo cual es menor que el cociente provisional considerado.
: ¿Qué tal 3 como cociente provisional?
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 6...
: restando 6 de [ab] hace que el valor en [a] sea 3
...¡Bien! 3 es el cociente verdadero. Restamos 6 de [ab].
2 3804 : Miremos [b], y pensemos...
: si tratamos el valor en [b] (8) como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 16...
: restando 16 de [bc] hace que el valor en [b] sea 6
...lo cual es menor que el cociente provisional considerado.
: Si tratamos 7 como cociente provisional,
: el valor en [b] cambia a 6, ¡sigue siendo menor!
...Mala suerte.
: ¿Qué tal 6?
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 12...
: restando 12 de [bc] hace que el valor en [a] sea 6
...¡Bien! 6 es el cociente verdadero. Restamos 12 de [bc].
2 3684 : Miremos [c], y pensemos...
: si tratamos el valor en [c] (8) como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 16...
: restando 16 de [bc] hace que el valor en [c] sea 7
...lo cual es menor que el cociente provisional considerado.
: ¿Qué tal 7 como cociente provisional?
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 14...
: restando 14 de [cd] hace que el valor en [c] sea 7
...¡Bien! 7 es el cociente verdadero. Restamos 14 de [cd].
2 3670 : ¡Hecho!
¿Me sigue?
Entonces veamos el siguiente ejemplo. Contiene una pequeña trampa.
Ejemplo 3: 9468 / 12 = 789
AB abcd
12 9468 : Borramos el dígito inicial [A] del divisor.
2 9468 : Miremos [a], y pensemos...
: si tratamos el valor en [a] (9) como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 18...
: restando 18 de [ab] hace que el valor en [a] sea 7
...lo cual es menor que el cociente provisional considerado.
: ¿Qué tal 8 como cociente provisional?
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 16...
: restando 16 de [ab] hace que el valor en [a] sea 7
...lo cual es menor que el cociente provisional considerado.
: ¿Qué tal 7 como cociente provisional?
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 14...
: restando 14 de [ab] hace que el valor en [a] sea 8!!! ?????
...Hemos intentado 9 y 8, y hemos encontrado el valor más bajo 7,
pero cuando intentamos 7, encontramos 8. ¿Cómo podemos encontrar un 7 en [a]?
De hecho, el cociente correcto es 7, y debemos tratar el valor
en exceso como un desbordamiento de [b].
(significa que la varilla [b] tiene un valor de 10, en lugar de 0).
Por lo tanto, restamos 14 de [ab].
2 8068 : Seguimos el cálculo...
: Puesto que el valor de la varilla [b] es 10...
: si tomamos 9 como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 18...
: restando 18 de [abc] hace que el valor en [abc] sea 788.
...[a] se convierte en 7, bien... pero [b] es 8, menor que 9, nada bueno.
: ¿Qué tal 8 como cociente provisional?
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 16...
: restando 16 de [abc] hace que el valor en [ab] sea 79!!!
...[a] se convierte en 7, bien... pero [b] es 9, no 8... excesivo otra vez!!!
...aquí está ocurriendo lo mismo de antes,
...así que restamos 16 de [abc], consideramos que [b] es 8, y [c] es 10.
2 7908 : Seguimos el cálculo...
: Puesto que el valor de la varilla [c] es 10...
: si tratamos 9 como cociente provisional,
: multiplicando su valor por [B] (2) tenemos 18...
: restando 18 de [bcd] hace que el valor en [bcd] sea 890.
...Por lo tanto, restamos 18 de [bcd].
2 78900 : ¡Hecho!
Los puntos clave son...
- Si el resultado de la resta es más pequeño que el cociente provisional, entonces dicho cociente es demasiado grande.
- Si el resultado de la resta se convierte en el cociente provisional + UNO, estamos en el camino correcto pero tenemos desbordamiento.
Este es el método 省一法除法.
Si domina esta técnica como base, está listo para continuar con la siguiente
técnica llamada 過大商省一除法.
2. 過大商省一除法 (Eliminación del dígito inicial de un divisor que comienza con uno, con cociente excesivo)
Cuando el divisor tiene más de 3 dígitos, a veces consideramos un cociente provisional incorrecto, que es solo una unidad que el cociente real y restamos el producto.
La forma de dar marcha atras en esta situación es, por supuesto, sumar el mismo valor que hemos restado y volver a intentarlo con el nuevo cociente provisional, o simplemente sumar el divisor modificado, pero a veces podemos proseguir con el cálculo desde ese estado si ya hay algunos dígitos del cociente sobre el ábaco.
Ejemplo 4: 773742 / 129 = 5998
ABC abcdef
129 773742 : Borramos el dígito inicial [A] del divisor.
29 773742 : Supongamos un cociente provisional de 6,
: restamos 12 (que es 6 * [B]) de [ab].
29 653742 : Y restamos 54 (que eswhich is 6 * [C]) de [bc].
29 599742 : El valor de [a] se hace menor que el cociente provisional...
: lo que significa que asumimos un cociente provisional incorrecto.
: En otras palabras, deberíamos haber restado (5 * 29) en lugar de
: (6 * 29).
: Pero en casos como este, podemos pensar que algunas de las cifras
: correctas del cociente ya están saliendo a flote en el ábaco,
: tales son 599 (on the rods [abc]).
: De todos modos, hemos restado un valor mayor (6 * 29) de lo debido
: (5 * 29), lo que significa que estamos contemplando aun viejo
: conocido: el Otro Lado
: [¡¡bienvenido de nuevo al mundo del revés!! 😀 ]
: Si miramos el otro lado de [def], veremos el valor 258,
: que es el doble del divisor original 129.
: De modo que multiplicamos 2 (ya que el valor anterior es el doble)
: por [B] (2), y sumamos el resultado a [de]
29 599782 : y multiplicamos 2 por [C] (9) y sumamos el resultado a [ef].
29 599800 : Done.
Veamos lo que hemos hecho realmente en este ejemplo. La expresión de la división podría representarse así:
Q = A / B
Esto podría reescribirse como:
Q = (Q * B) / B
y, viendo las cosas en retrospectiva, podemos decir que asumimos el cociente provisional incorrecto 600 cuando el cociente real era 599. Es decir, 600 es el cociente excesivo. Así que reescribimos la expresión sustituyendo cociente y divisor:
Q = ((E - D) * (10^n + M)) / (10^n + M) (Siendo E = 600 el cociente excesivo y D = 1 en nuestro ejemplo anterior.)
que a su vez puede reescribirse como:
Q = (10^n*E - 10^n*D + E*M - D*M) / (10^n + M)
El valor (10^n*E - 10^n*D + E*M - D*M) está en el ábaco en primer lugar, (recuerde, es lo mismo que (Q * B), o A) y restamos el resultado de 600 * 29 en la primera operación, es decir E * M, lo único que tenemos que hacer a continuación es SUMAR D*M, entonces el cociente Q aparecerá en el ábaco.
Veamos otro ejemplo:
Ejemplo 5: 600753 / 129 = 4657
ABC abcdef
129 600753 : Borramos el dígito inicial [A] del divisor.
29 600753 : Supongamos un cociente provisional de 6 5,
: multiplicamos [BC] por 5, y restamos el resultado de [abc].
29 455753 : 5 resultó excesivo, y el otro lado dice [44247].
: deberíamos sumar 44247 / 129 = 343 como D, por lo que tenemos que
: multiplicar 3 por 29, y sumar el resultado a [bc],
: multiplicar 4 por 29, y sumar el resultado a [cd], y
: multiplicar 3 por 29, y sumar el resultado a [de].
: Pero ¿cómo determinamos el valor 343 cuando no podemos
: calcularlo mentalmente?
: La forma más sencilla es, por ejemplo,
: (1) miramos qué hay en [b] (5),
: (2) consideramos su complemento (que es 5),
: (3) lo multiplicamos por [BC] y obtenemos a qué valor cambia [b] (a 7),
: (4) consideramos el complemento del valor al que ha cambiado [b]
: lo que nos da 3,
: entonces multiplicamos 3 por [B] y sumamos el resultado a [bc].
: multiplicamos 3 por [C] y sumamos el resultado a [cd].
29 464453 : En el Otro Lado leemos: [5547],
: miramos [c] (4), su complemento es 6, así que multiplicamos por 6 y vemos
: a qué valor cambia [c], (debe ser 6),
: por lo tanto multiplicamos 4 por [B] y sumamos el resultado a [cd].
: multiplicamos 4 por [C] y sumamos el resultado a [de].
29 465613 : En el Otro Lado leemos: [387], usamos la misma lógica y encontramos 3,
: por lo tanto multiplicamos 3 por [B] y sumamos el resultado a [de].
: multiplicamos 3 por [C] y sumamos el resultado a [ef].
29 465700 : hecho.
Esta es una explicación breve de esta técnica. Si tiene alguna cuestión, no dude en preguntarme. (Estoy estudiando la técnica en este momento, así que no estoy seguro de poder responder a todas las preguntas, pero haré lo mejor que pueda. 😀
Masaaki