División por Números Complementarios - por Masaaki Murakami
Hola todos.
Continuando desde el mensaje nº 10330 del grupo de Yahoo! [1]
3. 帰一法除法 (División por Números Complementarios)
Este método se explica brevemente en el libro de Takashi Kojima, pero me gustaría explicarlo aquí en detalle.
Cuándo Usarlo:
Esta técnica podría aplicarse cuando el dígito inicial del divisor es 8 o 9; o en cualquier momento utilizando la técnica de multiplicar ambos términos por el mismo número, descrita en la última publicación.
Teoría y Operación Resumidas:
Consideremos la siguiente expresión para la división:
Q = A / B (donde Q es el cociente, A el dividendo, y B el divisor)
Para empezar, cuando el dígito inicial del divisor es 8 o 9, podemos expresar su valor en la forma 10^n - M, por ejemplo 813 puede expresarse como 10^3 - 187.
Manipulemos la expresión anterior.
Q = A / B : sustituimos B por (10^n - M) Q = A / (10^n - M) : multiplicamos ambos lados por (10^n - M) Q * (10^n - M) = A : desarrollamos el lado izquierdo Q * 10^n - Q * M = A : sumamos 'Q * M' a ambos lados Q * 10^n = A + Q * M : dividimos ambos lados por '10^n' Q = (A + Q * M) / 10^n : esta expresión es la esencia de la técnica
La última expresión nos dice cómo usar esta técnica..
Puesto que A ya está situada en el ábaco como dividendo, todo o que tenemos que hacer es, de izquierda a derecha,
Si conseguimos elegir el cociente provisional correcto, dicho valor debería aparecer en la columna donde se debe colocar el cociente correcto.
El mérito de esta técnica radica en que todas las operaciones se realizan mediante multiplicaciones y sumas (es fácil determinar el cociente intermedio).
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1: 641457 / 813 = 789
ABC abcdef
813 641457 : Ponemos el complemento del divisor 813 (esto es 1000 - 813).
187 641457 : Miramos [a], y pensamos...
: Si tomamos el valor en [a] (6) como cociente provisional,
: multiplicándolo por el valor en [ABC] y sumando el resultado a [abcd]
: hacemos que el valor en [a] sea 7, por lo que el cociente real sería 7.
: (Suena como una tarea desalentadora, pero en realidad no lo es.
: Tiene que multiplicar y sumar para cada columna [A], [B],
: y [C], pero sólo necesita seguir la pista de si hay acarreo y
: ver si el valor en [a] cambia o no, de forma que puede suspender
: la operación en el momento en que se sienta seguro de que
: dicho acarreo no va a ocurrir más.)
: Por lo tanto, multiplicamos 7 por [ABC] (187), y sumamos el resultado a [abcd].
187 772357 : Miramos [b], y pensamos...
: Si tomamos el valor en [b] (7) como cociente provisional,
: multiplicándolo por el valor en [ABC] y sumando el resultado a [bcde]
: hacemos que el valor en [b] sea 8, por lo que el cociente real sería 8.
: Por lo tanto, multiplicamos 8 por [ABC] (187), y sumamos el resultado a [bcde].
187 787317 : Miramos [c], y pensamos...
: Si tomamos el valor en [c] (7) como cociente provisional,
: multiplicándolo por el valor en [ABC] y sumando el resultado a [cdef]
: hacemos que el valor en [c] sea 8, por lo que el cociente real sería 8.
: Por lo tanto, multiplicamos 8 por [ABC] (187), y sumamos el resultado a [cdef].
187 788813 : Miramos el valor remanente en [def],
: Es el mismo valor que el divisor (813), por lo tanto podemos incrementar
: el último cociente en [c].
: (Si está acostumbrado a esta técnica, puede determinar directamente
: el cociente real 9 en [c] del paso anterior [787317].)
187 789000 : Hecho.
Ejemplo 2: 7412292 / 927 = 7996
ABC abcdefg
927 7412292 : Ponemos el complemento del divisor 927 (esto es 1000 - 927).
073 7412292 : Miramos [a], y pensamos...
: Si tomamos el valor en [a] (7) como cociente provisional,
: multiplicándolo por el valor en [ABC] y sumando el resultado a [abcd]
: (¡no olvide la existencia del dígito [A], la suma a de hacerse
: sobre [abcd]!)
: hacemos que el valor en [a] sea 7, por lo que el cociente real sería 7.
: Por lo tanto, multiplicamos 7 por [ABC] (073), y sumamos el resultado a [abcd].
073 7923292 : Miramos [b], y pensamos...
: Si tomamos el valor en [b] (9) como cociente provisional,
: multiplicándolo por el valor en [ABC] y sumando el resultado a [bcde]
: no modificamos el valor en [b], por lo que el cociente real sería 9.
: Multiplicamos 9 por [ABC] (073), y sumamos el resultado a [bcde].
073 7988992 : Miramos [c], y pensamos...
: Si tomamos el valor en [c] (8) como cociente provisional,
: multiplicándolo por el valor en [ABC] y sumando el resultado a [cdef]
: modificamos el valor [c], por lo que el cociente real sería 9.
: Por lo tanto, multiplicamos 9 por [ABC] (073), y sumamos el resultado a [cdef].
073 7995562 : Miramos [d], y pensamos...
: Si tomamos el valor en [d] (5) como cociente provisional,
: multiplicándolo por el valor en [ABC] y sumando el resultado a [defg]
: no modificamos el valor en [d], por lo que el cociente real sería 5.
: Multiplicamos 5 por [ABC] (073), y sumamos el resultado a [defg].
073 7995927 : Miramos el valor remanente en [efg],
: Es el mismo valor que el divisor (987), por lo tanto podemos incrementar
: el último cociente en [d].
073 7996000 : Hecho.
Esto ha sido el método 帰一法除法.
La siguiente técnica se denomina 過大商帰一除法.
4. 過大商帰一除法 (División por Números Complementarios con Cociente Excesivo)
Cuando accidentalmente (o intencionalmente por parte de un usuario avanzado) asumimos un cociente intermedio excesivo (lo que significa que el cociente intermedio es el cociente real + 1), a veces aparecen secuencias de 9 en el ábaco. En ese caso, podemos acortar las operaciones.
Veamos el ejemplo anterior: 7412292 / 927 = 7996
ABC abcdefg
927 7412292 : Ponemos el complemento del divisor 927 (esto es 1000 - 927).
073 7412292 : Miramos [a], y pensamos...
: En el ejempo anterior tomamos 7 como cociente provisional,
: pero ahora vamos a tomar 8.
: Multiplicamos 8 por [ABC], y sumamos el resultado a [abcd]
073 7996292 : Hemos supuesto que el cociente provisional es 8, pero la varilla [a] no toma el valor de 8.
: Esto significa que el valor adoptado era demasiado alto y tenemos que dar marcha atras.
: Pero podemos pensar que el valor [abc] (799) es el cociente correcto y
: proseguir la operación desde aquí.
: Miramos la columna [d] (6) y extraemos su número complementario, que es 4,
: multiplicamos 4 por [ABC], y restamos el resultado de [efg]
073 7996000 : Hecho.
Veamos lo que realmente hemos hecho en este ejemplo.
La expresión de la división podría representarse así:
Q = A / B
Que puede reescribirse como:
Q = (Q * B) / B
y esto podría ser a posteriori, pero podemos decir que tomamos un cociente provisional equivocado 800 cuando el verdadero era 799. Es decir, 800 a sido un cociente excesivo.
Por lo tanto, reescribimos la expresión anterior sustituyendo cociente y divisor:
Q = ((E - D) * (10^n - M)) / (10^n - M) (En nuestro caso, E es 800 y D es 1 en el ejemplo anterior.)
que a su vez puede ponerse como:
Q = (10^n*E - 10^n*D - E*M + D*M) / (10^n - M)
El valor (10^n*E - 10^n*D - E*M + D*M) esta puesto en el ábaco inicialmente, (recuerde que es lo mismo que (Q * B), o A) y le sumamos el resultado de 800 * 73 en la primera operación, lo cual es E*M, todo lo que nos queda por hacer es sustraer D*M y el cociente Q aparecerá en el ábaco.
Masaaki
[1]: Dicho mensaje se corresponde con el tutorial: Dos Técnicas Cuando el Divisor Empieza por 1 (N. del T.).↩