El "Otro Lado" del Ábaco - Masaaki Murakami
"El Otro Lado , la frontera final. Estos son los consejos secretos para el sorobanista avanzado. Su misión de por vida, explorar un nuevo y extraño mundo numérico, buscar nuevos consejos y nuevas observaciones, hasta alcanzar lugares donde nadie ha ido antes..."
bromeando... 😉
INTRODUCCIÓN: ¿Qué es el Otro Lado?
En el Soroban, cada una de las varillas representa un dígito de un número según la posición de las cuentas. Cada una de las cuatro cuentas terrestres (inferiores) se cuenta como $1$ cuando se desplazan junto a la barra central, y una cuenta celeste (superior) se cuenta como $5$ cuando se desplaza a dicha barra, por lo que puede leerse fácilmente el grupo de cuentas adosadas a la barra central.
Los usuarios avanzados japoneses a veces llaman 表面 a este grupo de cuentas destacadas hasta la barra central. (表面 Omote-men, literalmente significa lado anverso, pero no debe confundirse con la palabra japonesa Hyou-men, que se escribe con los mismos caracteres kanji... y que significa superficie). Y si hay un anverso, siempre habrá un reverso . Todas las cuentas que NO se desplazaron junto a la barra transversal componen 裏面 ( Ura-men, a veces leído Ri-men) que literalmente significa reverso (pero no pretendo que se dé la vuelta o se voltee el soroban aunque, de hecho, hay un soroban reversible); por ello creo que el Otro Lado es un nombre razonable.
Cuando lea números del otro lado, debe agregar $1$ al dígito menos significativo distinto de cero. Por ejemplo, cuando el anverso del soroban dice $1230$, debe leerse como $8770$.
Sí, en términos matemáticos es lo mismo que el complemento a $10$ del número decimal, y podría representarse como $10^n - X$ (siendo $n$ el número de dígitos de $X$). Hablando del valor de $n$, por cierto, en informática, los acumuladores dentro de la CPU tienen cierto número de bits, como 32 o 64, y su representación de complemento se basa en $2^{32} - X$ o $2^{64} - X$ incluso si el valor $X$ tiene solo unos pocos bits. De manera similar, podemos pensar que el número de complemento para $1230$ es $999999999998770$ para un soroban de 15 varillas. Pero por ahora, supongamos que $n$ es el número de dígitos de X.
¿ES SÓLO UNA REPRESENTACIÓN PARA NÚMEROS NEGATIVOS?
No, en absoluto. Un sabio dijo una vez...
"Introducir un valor negativo es una forma de entrar al mundo del Otro Lado, pero el Otro Lado no significa necesariamente que sea un mundo negativo. Domínelo, de todos modos".
Incluso si no entiende tales palabras en este momento, no se preocupe, sabrá lo que significan a medida que avance por este documento. Por lo tanto, comencemos con las cuatro operaciones aritméticas básicas.
SUSTRACCIÓN
Restar un número mayor que el minuendo es la forma más fácil de ingresar al mundo del Otro Lado. Cuando haga esto, suponga que hay un $1$ en una columna frontera ( CF).
La CF se determina observando el sustraendo. Por ejemplo, si tuviera que calcular $123 - 4567$, entonces el número de dígitos del sustraendo es $4$ (la $n$ que discutimos anteriormente). Entonces, el quinto dígito desde el dígito menos significativo se convierte en la CF para la operación. En otras palabras, tenemos que pensar que el minuendo es $10123$ en lugar de $123$. (Lo hacemos para tomar prestado $1$ de dicha CF). Entonces, 123 - 4567 = -4444
ABCD abcde : introducir minuendo y sustraendo 4567 123 : suponer un '1' en [a] y restar [ABCD] (4567) 4567 5556 : leer el otro lado (que es 4444, negativo)
Nota: si estamos en el mundo del Otro Lado, siempre debemos saber dónde está la CF (en este caso, en [a]).
¿POR QUÉ TOMAR PRESTADO $1$ DE CF?
Si no toma prestado $1$ de CF, terminará sufriendo con una operación tediosa. Por ejemplo, el cálculo de $123 - 4567 = -4444$ sería así:
ABCD abcdefghijklmno : introducir minuendo y sustraendo
4567 000000000000123 : hacer la sustracción...
4567 999999999995556 : es como la representación de las computadoras para los
: números complementarios... no es incorrecto después de
: todo, pero es un trabajo para computadoras, no para
: nosotros.
Más aún, si usamos un soroban de infinitas columnas, terminaríamos con un ciclo de operación infinito. Pero si agregamos mentalmente $1$ a la CF (lo que significa sumar $10000$ al principio), podemos evitar que ocurra tal operación infinita. Es por eso que tomamos prestado $1$ de la CF. Y si pide algo prestado, tiene que devolverlo (pero en caso de resta/suma, no se requiere el pago de intereses. 🙂)
ADICIÓN
Ahora, salgamos del Otro Lado. La única forma de salir del Otro Lado es sumando un valor mayor que el valor absoluto del sumando que está en el ábaco. Y todo lo que tiene que hacer es la operación ordinaria de sumar, pero ignorando la llevada a la CF (ignorar la llevada es lo mismo que devolver el $1$ que tomamos prestado inicialmente). Veamos, -4444 + 4567 = 123
ABCD abcde : introducir ambos sumandos
4567 5556 : El ábaco muestra 5556, pero en el Otro Lado representa -4444
: sumar [ABCD] (4567), pero sin llevar ‘1’ a CF [a]
4567 0123 : leer el anverso (Este Lado) (que, por supuesto, es 123, positivo)
MULTIPLICACIÓN
Pasemos a la multiplicación. $-4444\times 32 = -142208$. En este ejemplo, utilizo 留頭頭乗法 (Mantener el dígito inicial del multiplicando y multiplicar desde el dígito inicial del multiplicador), pero se podría aplicar cualquier otro método de multiplicación, incluidas las Operaciones Especiales.
AB abcdefg : introducir multiplicando y multiplicador (la CF es [a]).
32 05556 : mirando [e] (6), multiplicar [AB] (32),
: colocar el resultado en [efg].
32 0555192 : mirando [d] (5), multiplicar [AB] (32), borrar [d],
: sumar el resultado a [def].
32 0551792 : mirando [c] (5), multiplicar [AB] (32), borrar [c],
: sumar el resultado a [cde].
32 0517792 : mirando [b] (5), multiplicar [AB] (32), borrar [b],
: sumar el resultado a [cde].
32 0177792 : multiplicación finalizada, pero el valor inicial 5556 contiene
: el valor '1' tomado de [a],
: y lo hemos multiplicado por [AB] (32),
: significa que debemos compensarlo (¡con el pago de intereses!).
: entonces, restar 32 ([AB] x '1') de [bc] (varillas adyacentes a CF).
32 0857792 : leer el Otro Lado (que es 142208, negativo)
Siguiente ejemplo: $-12 \times 11 = -132$
AB abcde : introducir multiplicando y multiplicador (la CF es [a]).
11 088 : mirando [c] (8), multiplicar [AB] (11),
: y colocar el resultado en [cde].
11 08088 : mirando [b] (8), multiplicar [AB] (32), borrar [b],
: y sumar el resultado a [bcd].
11 00968 : restar 11 ([AB] x '1') de [bc] (barras adyacentes a CF)
11 09868 : leer el otro lado (que es 132, negativo)
En cualquier caso, debe asegurarse de dónde se realizó la resta, para devolver correctamente el $1$ (compensar).
El Principio
La multiplicación se puede representar como...
$$P=A\times B$$(siendo $P$ el producto, $A$ el multiplicando y $B$ el multiplicador)
Como mencioné antes, el número del anverso y el número del otro lado tienen una relación bidireccional representada por $10^n - X$, por lo que si el valor $A$ se coloca en el otro lado, el valor del anverso debe ser $10^n - A$. Transformemos la expresión anterior…
$$ \begin{array}{rcll} P &=& (10^n - A) \times B \\ &=& 10^n\times B - A\times B \end{array} $$Entonces, si multiplicamos el valor del anverso del soroban por $B$, todo lo que tenemos que hacer es simplemente restar $10^n\times B$ y así podemos esperar obtener $-A\times B$. (el signo menos significa que el valor está en el Otro Lado)
Para cultivar una mejor comprensión, veamos cómo sería si hacemos este cálculo sin usar la CF, es decir, una operación similar a la de una computadora usando un soroban de 26 varillas.
AB abc...opqrstuvwxyz : introducir multiplicando y multiplicador
32 999...9999995556 : mirando [x] (6), multiplicar [AB] (32),
: y poner el resultado en [xyz].
32 999...999999555192 : mirando [w] (5), multiplicar [AB] (32),
: borrar [w], y sumar el resultado en [wxy].
32 999...999999551792 : mirando [v] (5), multiplicar [AB] (32),
: borrar [v], y sumar el resultado en [vwx].
32 999...999999517792 : mirando [u] (5), multiplicar [AB] (32),
: borrar [u], y sumar el resultado en [uvw].
32 999...999999177792 : mirando [t] (9), multiplicar [AB] (32),
: borrar [t], y sumar el resultado en [tuv].
32 999...999993057792 : mirando [s] (9), multiplicar [AB] (32),
: borrar [s], y sumar el resultado en [stu].
32 999...999931857792 : mirando [r] (9), multiplicar [AB] (32),
: borrar [r], y sumar el resultado en [rst].
32 999...999319857792 : mirando [q] (9), multiplicar [AB] (32),
: borrar [q], y sumar el resultado en [qrs].
32 999...993199857792 : mirando [p] (9), multiplicar [AB] (32),
: borrar [p], y sumar el resultado en [pqr].
32 999...931999857792 : mirando [o] (9), multiplicar [AB] (32),
: borrar [o], y sumar el resultado en [opq].
32 999...319999857792 : ... ¿Nos rendimos ya? ... ^_^;
Si continuamos haciendo esta operación más allá de las varillas del soroban (en fin, infinitas veces), todos los dígitos que preceden a $857792$ se convertirían en $9$.
DIVISIÓN
Procedamos a la división. $-142208 / 32 = -4444$. En este ejemplo, uso el método estándar actual llamado 商除法 (División usando la tabla de multiplicar), pero se podría aplicar cualquier método de división, incluidas las Operaciones Especiales.
La división es un inverso de la multiplicación, por lo que primero tenemos que sumar el divisor al dividendo y dividir por el divisor. Cuando sume el divisor, haga coincidir el dígito más significativo (DMS) del dividendo y el divisor, calcule mentalmente la suma y determine si se produciría una llevada. Si no se produce la llevada, imagine que hay un $9$ justo a la izquierda del DMS del dividendo y haga coincidir ese dígito con el DMS del divisor. En cualquier caso, no coloque el $1$ de la llevada en el ábaco. Calculemos -142208 / 32 = -4444.
AB abcdefg : introducir divisor y dividendo.
32 857792 : primero, alinee el DMS del dividendo ([bc]) y el divisor ([AB]), y
: determine si hay llevada.
: 32 + 85 tendría tres dígitos (!hay llevada!), por lo tanto, súmelos,
: pero no se olvide de ignorar la llevada!
32 177792 : haga la división normal (177792 / 32)
32 5556000 : el resultado es 4444, negativo.
Siguiente ejemplo: $-132 / 11 = -12$.
AB abcde : introducir divisor y dividendo.
11 868 : primero, alinee el DMS del dividendo ([cd]) y divisor ([AB]), y
: determine si hay llevada.
: Esta vez 86 + 11 tendrá 2 dígitos y no hay llevada,
: por lo tanto. Imagine que hay un '9' en [b] y calcule 98 + 11 (=109)
: y ponga '09' en [bc].
11 0968 : haga la división normal (968 / 11)
11 88000 : el resultado es 12, negativo.
El Principio
La división puede expresarse como $Q = A / B$, pero podemos reescribirla como...
$$ Q = Q \times B / B $$Dado que el dividendo $Q \times B$ ya está colocado en el otro lado, podría representarse como $10^n - Q\times B$ (siempre que n sea el número de dígitos del dividendo) en el anverso. Aún no sabemos la cantidad de dígitos de $Q$, pero la respuesta ($Q$) se colocaría en el Otro Lado, por lo que podríamos representar la respuesta como $10^m - R$ (siendo que $m$ es el número de dígitos de $R$) en el anverso. Ahora ordenemos la expresión.
$$10^n - Q\times B$$$Q$ podría representarse como $10^m - R$, por lo tanto...
$$ \begin{array}{rcll} &=& 10^n - B\times (10^m - R) \\ &=& 10^n - 10^m\times B + BR \end{array} $$Si observa la expresión, puede ver que si sumamos $10^m\times B$ y restamos $10^n$ (compensamos la llevada), obtendríamos la CF. Después de eso, podríamos dividir por $B$, por lo tanto obtendríamos $R$, que es la representación de anverso (Este Lado) del cociente $Q$.
NEGATIVO FRENTE A NEGATIVO
Recuerde que al multiplicar o dividir dos números negativos obtenemos un resultado positivo, pero seguiremos en el Otro Lado después del cálculo. (La única forma de salir del Otro Lado es sumando un valor mayor que el valor absoluto del término que está en el ábaco).
Calculemos $(14+18-67)\times (-24)/(-15)+80 = 24$. Creo que ahora podrá seguir lo que hago sin muchas explicaciones.
abcd 14 : 14, positivo, en Este Lado 32 : 14+18, positivo, en Este Lado 65 : 14+18-67, negativo, en el Otro Lado 156 : (14+18-67)x(-24) en mitad del cálculo 916 : (14+18-67)x(-24) completo, positivo, en el Otro Lado 66 : (14+18-67)x(-24)/(-15) en mitad del cálculo 44 : (14+18-67)x(-24)/(-15) completo, negativo, en el Otro Lado 24 : (14+18-67)x(-24)/(-15)+80, positivo, en Este Lado
Si tiene alguna pregunta o encuentra un error tipográfico, un error o un uso extraño del inglés, dígamelo. 🙂
masaaki