Raíces Cúbicas
(contribuido por Shane Baggs)
Raíces Cúbicas
(contribuido por Shane Baggs)Esta página web fue creada por miembros del grupo SorobanAbacus cuando nos dimos cuenta de que el método japonés contemporáneo de raíz cúbica para soroban no parecía estar publicado en ninguna parte. Comenzamos con el método japonés del siglo XIX[1], lo ajustamos para adaptarlo a las técnicas modernas de soroban[2], luego tomamos sugerencias de los miembros del grupo que conocen el método para que se parezca más a la forma en que se hace hoy. El resultado es algo muy cercano al método japonés contemporáneo, pero que también se asemeja al método utilizado en Los Nueve Capítulos y el Método Horner
Para obtener una raíz cúbica, es necesario conocer los cubos de los dígitos.
Número Cubo
1 --------- 1
2 --------- 8
3 --------- 27
4 --------- 64
5 --------- 125
6 --------- 216
7 --------- 343
8 --------- 512
9 --------- 729
El método de la raíz cúbica es único porque hay un "lugar de parada" en el ábaco donde uno deja de dividir y queda un resto. El resto se elimina en un paso posterior donde se invierte la división multiplicando por un número. Se debe realizar un seguimiento de qué número es cada uno para evitar ir demasiado lejos. El ejemplo lo aclarará.
Disposición del problema. [ . . . . . . . ] ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 00000000000000051064811 Dividimos el número en grupos de tres columnas. --.--.--.--.--.--.--.-- Dejamos a la izquierda un grupo adicional de tres columnas | | para el resultado. El resultado empezará en la columna | resultado izquierda de este grupo extra. El extremo izquierdo triple del resultado del soroban contendrá el triple del resultado. .
Obtenemos el primer dígito del resultado. Restamos el cubo. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 00000000000300051064811 Mirando el primer grupo. . -27 ¿Qué número elevado al cubo cabe en 51? 00000000000300024064811 3 al cubo es 27.
La respuesta triplicada es 3x3=9. La ponemos en las columna AB en el extremo izquierdo.
Actualizamos el triple. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 09000000000300024064811
Hasta aquí el primer ciclo.
Comenzamos el segundo ciclo:
Dividimos por el triple. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW Ahora incluimos el segundo grupo. 09000000000300024064811 Dividimos todo hasta el final del segundo . /9 grupo por el triple, 9. 09000000000300267307811 ¡No vaya demasiado lejos! -- - ---- - Pare tan pronto como llegue a la columna T. | | | | | | | El resto de la división por 9, 7, queda en la varilla T. | | El cociente de la división por 9 es 2673. | El resultado hasta aquí es 3. Su triple es 9, que es por lo que hemos dividido.
Para obtener el siguiente dígito de la respuesta, miramos el cociente sin su último dígito, el cual es 267. 3_ x _ = 267? 8x3=24, por lo que cabe 8.
Obtención del siguiente dígito. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 09000000000380267307811
Ahora multiplicamos 38 x 8 y lo restamos de 267. Debido a que la varilla A más a la izquierda tiene un cero, tenemos que desplazar todo un lugar a la derecha, lo que podemos hacer imaginando que estamos multiplicando 038 x 8. Daremos una explicación al final de por qué las cosas son diferentes cuando la varilla más a la izquierda del soroban está vacía.
Multiplicamos y restamos. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 09000000000380267307811 . -00 8 x 0 = 0 . -24 8 x 3 = 24 09000000000380027307811 . -64 ¡Vaya! no podemos restar 64 de 27, el dígito elegido . debe ser demasiado alto. Revisemos el 8 a 7 y sigamos. . -1+03 Como en la revisión de la división, restamos 1 de la respuesta 09000000000370057307811 y sumamos 03 al número que estamos dividiendo. . -49 09000000000370008307811 -- -- ---- - Terminamos multiplicando 37 x 07. | | | | | | | resto de la división por 9 | | cociente de la división por 9 | respuesta triple
Ahora tenemos un resto en el ábaco.
Para el próximo paso, debemos usar la multiplicación para revertir el paso donde dividimos por el triple e integrar el cociente nuevamente en su resto.
¿Por qué el triple sigue siendo 9 cuando la respuesta ya no es 3 sino 37?
No podemos actualizar el triple todavía porque este paso debe INVERTIR EXACTAMENTE aquel en el que dividimos por 9, por lo tanto, el triple debe seguir siendo 9. Como no estaremos listos para el triple actualizado hasta el próximo ciclo, actualizaremos el triple como el último paso de este ciclo.
Integramos el cociente de la división por 9 en su resto multiplicando 83 por 9, y añadiéndolo al resto que está en la columna T (7).
Reversión. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 09000000000370008307811 . x9 83 x 9 + 7 = 754 09000000000370000754811
Solo quedan dos pasos más en el segundo ciclo, y son muy parecido a los dos últimos pasos del primer ciclo.
Tomamos el segundo dígito de la respuesta que encontramos en este ciclo y restamos su cubo del segundo grupo de dígitos en las barras RST.
Sustracción del cubo. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 09000000000370000754811 . -343 7 al cubo es 343. 09000000000370000411811
Para terminar el segundo ciclo, actualizamos el triple agregando el triple de 7 a las columnas BC.
Actualización del triple. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 09000000000370000411811 +21 3 x 7 = 21 11100000000370000411811
Ahora que el triple se ha actualizado, podemos comenzar el tercer ciclo.
El tercer ciclo comienza con la incorporación del tercer grupo en las varillas UVW. Se procede como en el segundo ciclo.
Empezamos dividiendo por el triple de la respuesta, ahora 111, deteniéndonos cuando llegamos a la última varilla.
Dividimos por el triple. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 11100000000370000411811 . /111 11100000000370037100001 --- -- ---- --- | | | | | | | resto | | cociente | resultado triple
Ahora, tomamos el cociente 3710 de división por 111 sin su último dígito, es decir 371.
¿37_ x _ = 371? 1 cuadra perfectamente.
Obtención del siguiente dígito. Multiplicamos y sustraemos. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 11100000000371037100001 . -371 11100000000371000000001
Tenga en cuenta que cuando multiplicamos 371 x 1, no tuvimos que desplazarnos a la derecha fingiendo que estábamos multiplicando 0371 x 1. Esto se debe a que la barra más a la izquierda del soroban ya no está vacía, por lo que no necesitamos observar la excepción. Una vez más, habrá una explicación al final de por qué es necesaria esta excepción.
Aquí normalmente invertiríamos el paso de división multiplicando el cociente de 111 por 111 nuevamente y sumándolo al resto de 111, pero como no queda nada del cociente de 111 más que cero, y 0 x 111 = 0, podemos saltarnos este paso.
(Reversión.)
Ahora realizamos el penúltimo paso de restar el cubo del tercer dígito que acabamos de encontrar, 1, del tercer grupo en UVW.
Sustracción del cubo. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 11100000000371000000001 . -1 1 al cubo es 1. 11100000000371000000000
Normalmente realizaríamos el paso final de actualizar el triple aquí, pero actualizar el triple solo prepara las cosas para el siguiente ciclo. Ya que hemos terminado y el problema ha salido parejo, podemos detenernos aquí.
(Actualización del triple.)
La respuesta es 371, y no deja resto.
¿POR QUÉ LAS COSAS SON DIFERENTES CUANDO LA BARRA MÁS A LA IZQUIERDA DEL SOROBAN ESTÁ VACÍA?
Una de las cosas características de la raíz cúbica es que se divide por el triple de la respuesta, se realizan algunas operaciones y luego se invierte ese paso multiplicando por el triple. Ambas operaciones deben ser exactamente una imagen especular la una de la otra.
En el Japón del siglo XIX, en lugar de usar el triple de la respuesta, primero dividían por la respuesta y luego por 3. Para revertir esto, multiplicaban por 3 y luego por la respuesta. Esto era más lento, porque por cada paso que damos hoy tenían que dar dos pasos. Sin embargo, había una ventaja: ¡no había excepciones!
Los números por los que dividían o bien eran estáticos (el 3) o bien crecían en 1 dígito por ciclo (la respuesta), por lo que el número de posiciones que la barra unitaria se desplaza hacia la izquierda siempre aumenta exactamente en una barra por ciclo. Combinado con todos los demás movimientos que se estaban produciendo (el punto de parada, la respuesta en sí), el resultado era que se podía colocar la respuesta de una vez y permanecería en su sitio durante todo el proceso; sin excepciones.
Hoy aceleramos las cosas multiplicando la respuesta y el 3 juntos en un triple; luego dividiendo y multiplicando por este triple. En la mayoría de los casos, esto es tan predecible como la respuesta y el número 3 tomados por separado. Por lo general, el primer grupo es al menos 64, su raíz cúbica es al menos 4 y su triple es al menos 12; esto produce un triple de 2 dígitos que crece en un dígito cada ciclo. Posicionamos la respuesta para este caso ya que este es el más común, y mientras estas condiciones se mantengan, todo funciona.
Sin embargo, si el primer grupo es menor que 64, su raíz cúbica es 1, 2 o 3; y su triple es 3, 6 o 9, todos números de un solo dígito cuando estamos esperando números de 2 dígitos. Cuando dividimos por un número con un dígito menos de lo que esperamos, la barra de la unidad se desplaza demasiado hacia la izquierda y el cociente termina un lugar demasiado hacia la derecha.
¿Podemos compensar esto colocando la respuesta un lugar más a la derecha cuando el triple es un solo dígito? No siempre. En el ejemplo anterior, la respuesta fue 371. En el segundo ciclo, el triple fue 9. Si hubiéramos colocado la respuesta un lugar a la derecha de donde suele ir, eso habría hecho que el segundo ciclo funcionara. Sin embargo, en el tercer ciclo el triple es 111, que tiene el número de dígitos que esperaríamos. Debido a que el triple se "arregló" a sí mismo al crecer dos dígitos en un solo paso, la respuesta que está en la posición correcta para el segundo ciclo está en la posición incorrecta para el tercero. No hay posición que funcione bien para ambos ciclos. Por eso colocamos la respuesta para el caso más común.
La forma lógica de tratar con esto es colocar el triple en las barras AB. Eso convierte la varilla A en un marcador: una varilla A vacía significa que estamos ante un caso excepcional. La varilla A estaba vacía en el segundo ciclo y no vacía en el tercero.
La manera más sencilla de lidiar con la excepción sería mover todo un lugar adicional a la izquierda al dividir por el triple y luego un lugar adicional a la derecha al multiplicar por el triple. Como alternativa, podemos moverlo todo un lugar a la derecha durante el paso que se produce entre dividir por el triple y multiplicar por el triple.
La alternativa es la mejor opción porque solo implica cambiar un paso por ciclo en lugar de dos. Este paso es más corto y siempre es una multiplicación en la que imaginarse multiplicando con un cero inicial logra el efecto deseado. Por lo tanto, es esta solución la que presentamos anteriormente.
Si bien este ejemplo se podría tratar usando el mismo método que en el primer ejemplo, me gustaría mostrar un atajo que puede seguirse cuando se encuentra un cero en el resultado.
Disposición del problema, división del número en grupos de tres columnas.
Disposición del problema. [ . . . . . . . ] ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 00000000000000067917312 Obtención del primer dígito. Sustracción del cubo. Actualización del triple. 00000000000400067917312 Mirando al primer grupo de columnas, OPQ. . -64 4 al cubo es 64 que cabe en 67. 00000000000400003917312 Triplicamos esta respuesta (4 x 3 = 12) . y la disponemos en AB. 12000000000400003917312
Dividimos por el triple. 12000000000400003917312 Añadimos el siguiente grupo de columnas, RST, . /12 ay dividimos por 12. 12000000000400326005312 326 es el cociente, 5 es el resto. Obtención del siguiente dígito. Consideramos el cociente 326 sin su último dígito, es decir, 32. 4_ x _ = 32? La respuesta es cero.
CUANDO SE ENCUENTRA UN CERO EN LA RESPUESTA se puede tomar este atajo:
Terminamos el ciclo actual anticipadamente colocando mentalmente un cero detrás del triple, tal como se colocó mentalmente un cero detras de la respuesta que teníamos.
Iniciamos el siguiente ciclo incorporando el siguiente grupo de tres varillas.
Dividimos por el triple, pero tratamos toda división hasta la primera columna del nuevo grupo de tres inclusive, como si ya se hubiera hecho.
¿Por qué funciona? Consulte más abajo la sección sobre POR QUÉ PUEDE UTILIZARSE UN ATAJO... donde se resuelve al completo.
Continuamos dividiendo por el triple. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW La respuesta hasta aquí es 40, y su triple es 120. 12000000000400326005312 lo llevamos a las varillas UVW. . /120 Dividimos por 120 como si hubieramos estado . +4-480 dividiendo por 120 hasta la columna U inclusive. 12000000000400326400512 Ahora lo hemos hecho hasta la columna V inclusive. . +4-480 12000000000400326440032 Ahora ya está hecho hasta la columna W inclusive. Obtención del siguiente dígito. Tomamos el cociente de dividir por 120, 32644, sin su último dígito, es decir, 3264. 40_ x _ = 3264? 32/4=8, por lo tanto la respuesta es 8. Multiplicamos y sustraemos. Reversión. Restamos el cubo. 12000000000408326440032 Restamos 408 x 8 de 3264. . -32 . -64 12000000000408000040032 Revertimos la división por 120. . x120 4 x 120 + 32 = 512. . -4+480 12000000000408000000512 . -512 Sustraemos el cubo de 8, es decir, 512, de las columnas UVW. 12000000000408000000000 El resultado es 408, y sin dejar resto.
¿POR QUÉ SE PUEDE UTILIZAR UN ATAJO CUANDO LA RESPUESTA CONTIENE UN CERO?
Demostraremos que esto funciona retrocediendo al paso anterior a mencionar el atajo y trabajando desde allí al completo para mostrar cómo el ábaco, efectivamente, regresa a este estado.
Obtención del siguiente dígito.
Multiplicamos y sustraemos.
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW VOLVEMOS AL SEGUNDO CICLO
12000000000400326005312 La respuesta es cero. Restamos 40x0=0 de 32.
(Nada cambia.)
Reversión.
12000000000400326005312 Invertimos el paso de división multiplicando
. x12 326 por 12 y sumándolo al resto 5.
12000000000400003917312
En este caso, realmente hemos REVERTIDO el paso de multiplicación por completo,
¡y volvemos a un paso anterior!
Ahora restamos el cubo de 0 (que es 0) de las columnas RST.
Nada cambia.
Sustracción del cubo.
12000000000400003917312
Actualizamos el triple añadiendo un cero al final de 12, formando 120.
Actualización del triple.
12000000000400003917312
Ahora comenzamos el TERCER CICLO con el ábaco en el mismo estado en que estaba al comienzo del segundo ciclo. Es lo mismo excepto por los ceros mentales que nos dicen que la respuesta es 40 y el triple es 120, en lugar de que la respuesta sea 4 y el triple sea 12.
Añadimos las columnas UVW y dividimos por 120.
División por el triple.
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW
12000000000400003917312
/120
. +3-360
12000000000400300317312 División por 120 completa hasta la columna S inclusive.
. +2-240
12000000000400320077312 División por 120 completa hasta la columna T inclusive.
. +6-720
12000000000400326005312 División por 120 completa hasta la columna U inclusive.
¿Reconoce el estado del ábaco? Ahora está en el mismo estado que estaba en el ciclo 2 cuando nos dimos cuenta de que el segundo dígito de la respuesta era cero. En el segundo ciclo dividimos por 12 hasta la barra T, que como se puede ver se ve igual que dividir por 120 hasta la barra U. El atajo nos lleva hasta aquí.
Si continuamos dividiendo por 120,
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW 12000000000400326005312 . +4-480 12000000000400326400512 División por 120 completa hasta la columna V inclusive. . +4-480 12000000000400326440032 División por 120 completa hasta la columna W inclusive.
y el trabajo se continua como arriba.
[1] Knott, Dr. Cargill G.,
The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects
Transactions of the Asiatic Society of Japan
(Yokohama, R. Meiklejohn & Co., 1886): 18-71.
[2] Kojima, Takashi,
The Japanese Abacus, its Use and Theory
Tokyo, Charles E. Tuttle Co., 1954.
Artículo traducido del original en lengua inglesa
por Jesús Cabrera - gmail: jccsvq
(2022)
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Abacus: Mystery of the Bead
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Técnicas Avanzadas para el Ábaco
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Julio de 2007
Shane Baggs